• AHP(Analytic Hierarchy Process)是对一些较为复杂，较为模糊的问题作出决策的简易方法，适用于难以完全定量分析的问题。
  • 是对于评价决策类问题的处理策略

模型原理

  • 首先把问题条理化，层次化，构造出有层次的结构模型。
    • 目标层(最高层)：只有一个元素，是分析问题的预定目标或理想结果。
    • 准则层(中间层)：包含实现目标所涉及的中间环节，可以由若干个层次组成。
    • 方案层(最底层)：包含为实现目标可供选择的各种措施，决策方案等。
  • 基本步骤：
    • 建立递阶层次结构模型
    • 构造各层次所有的判断矩阵
    • 一致性检验
    • 求权重然后评价

构造判断矩阵

  • 对指标的重要性两两比较，构造判断矩阵，从而科学求出权重.
  • 矩阵中元素 ai,ja_{i,j} 表示第 ii 个指标对(比)第 jj 个指标的重要程度.
  • 重要程度的数字化：取值为 [1,9][1,9] 中的整数，1表示同样重要，比另一因素更重要的程度数字越大，就越更加重要。
  • 使用1到9的尺度进行评分：
    • 1：两者同等重要
    • 3：一者稍微重要于另一者
    • 5：一者明显重要于另一者
    • 7：一者强烈重要于另一者
    • 9：一者极端重要于另一者
  • 不难得出，反过来的重要程度 aj,i=1ai,ja_{j,i}= \frac{1}{a_{i,j}} .
  • 若两两独立比较可能会导致矛盾，所以需要一致性检验

一致性检验

  • 若ai,j=ai,k×ak,ja_{i,j} = a_{i,k}\times a_{k,j} 且矩阵各行列成倍数关系，则该矩阵是一致矩阵，不会出现矛盾。
  • 检验构造的判断矩阵和一致矩阵是否有太大差别（一定误差可容忍）

一致矩阵

  • 矩阵中每个元素满足 ai,j>0a_{i,j}>0 且 ai,j×aj,i=1a_{i,j}\times a_{j,i} = 1 则该矩阵为正互反矩阵。
  • 若正互反矩阵满足ai,k×ak,j=ai,ja_{i,k} \times a_{k,j} = a_{i,j} ,则为一致矩阵。

引理

  • A为n阶方阵，且r(A)=1，则A有一个特征值为tr(A),其余特征值为0。
  • tr(A)为A的迹，是A对角线元素的和。构造的判断矩阵的迹即为n。
  • 一致矩阵的秩一定为1
  • 特征值为n时，对应的特征向量为k[1a11,1a12,…,1a1n]Tk[\frac{1}{a_{11}},\frac{1}{a_{12}},\dots,\frac{1}{a_{1n}}]^{T}
  • 当n阶正互反矩阵A为一致矩阵时，当且仅当最大特征值λmax=n\lambda_{max} = n,且当正互反矩阵A非一致矩阵时，λmax>n\lambda_{max} > n ,判断矩阵越不一致时，最大特征值越大。

一般步骤

  • 计算一致性指标CI
    • CI=λmax−nn−1CI = \frac{\lambda_{max} - n}{ n - 1}
  • 查找对应的平均随机一致性指标RI
    • 只需查表即可，无需计算
  • 计算一致性比例CR
    • CR=CIRICR = \frac{CI}{RI}
    • CR = 0 ,则该矩阵为一致矩阵。
    • CR < 0.1 ,则判断矩阵一致
    • CR > 0.1 ,判断矩阵不一致
  • 特征值可以用matlab计算，特征值有虚数则比较模长（将模长赋给λmax\lambda_{max}）

求权重

算术平均法
  • 将判断矩阵按照列归一化（每一个元素）
  • 将归一化后每一行的元素相加，得到一个向量
  • 将得到的向量的各个元素除以n即可得到权重向量。
  • Wi=1n∑i=1naij∑k=1nakjW_i = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}{\frac{a_{ij}}{\sum_{k=1}^{n}{a_{kj}}}}
几何平均法
  • 将矩阵的元素按行相乘，得到一个新的向量。
  • 将新的向量每个元素开n次方。
  • 最后对这个向量进行归一化，即可得到权重向量。
  • Wi=(∏j=1naij)1n∑k=1n(∏j=1nakj)1nW_i = \frac{(\prod_{j=1}^{n}{a_{ij}})^{\frac{1}{n} }}{\sum_{k=1}^{n}({\prod_{j=1}^{n}{a_{kj}}})^{\frac{1}{n}}}
特征值法
  • 求出矩阵的最大特征值，以及对应的特征向量。
  • 对求出的特征向量归一化就立刻得到权重。

求评分

  • 最后由权重求出最终的评分即可。

归一化处理

  • 目的
    • 将有量纲转化为无量纲，同时将数据归一化至同一量级，解决数据间的可比性问题。
  • 方法
    • 见另一文章

示例代码

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import numpy as np

# 导入判断矩阵
A = np.array([[1,2,3,5],[1/2,1,1/2,2],[1/3,2,1,2],[1/5,1/2,1/2,1]])

# 获取矩阵的行数，1为列数
n = A.shape[0]

# 求最大的特征值及特征向量
eig_val,eig_vec = np.linalg.eig(A)
max_eig = max(eig_val)

# 计算CR
CI = (max_eig - n)/(n-1)
RI = [0,0.0001,0.52,0.89,1.12,1.36,1.41,1.46,1.49,1.52,1.54,1.56,1.58,1.59]
# n=2时，一定是一致矩阵，CI=0，为避免分母为0，将第二个元素改为接近0的数
CR = CI/RI[n-1]
print(CR)

# 求权重
# 算数平均法
# axis参数决定按行求和还是按列求和。0表示按列求和，1表示按行求和
A_sum = np.sum(A,axis=0)
# 归一化
Stand_A = A/A_sum
# 将归一化的数组按行求和
Asumr = np.sum(Stand_A,axis=1)
# 求出权重向量
weights = Asumr/n

# 几何平均法
# 将矩阵按行逐元素相乘
prodA = np.prod(A,axis=1)
# 将得到的向量开n次方
prodnA = np.power(prodA,1/n)
# 归一化
weights1 = prodnA/np.sum(prodnA)

# 特征值法

eig1,eig2 = np.linalg.eig(A)
# 找出最大值的索引
maxindex = np.argmax(eig1)
# 找出对应的特征向量
maxv = eig2[:,maxindex]
# 归一化
weights2 = maxv/np.sum(maxv)
print(weights2)