方法导论

  • Technique for Order Prederence by Similarity to an Ideal Solution (TOPSIS)
  • 称为优劣解距离法。
  • 是一种常用的综合评价方法，能充分利用原始数据的信息，反映各个评价方案的差距。
  • 基本概念
    • 理想解：各个属性值都达到各备选方案中最好的值（最优方案）
    • 负理想解：各个属性值都达到各备选方案中最坏的值（最坏方案）
  • 排序规则是将各备选方案与理想解与负理想解作比较，最优选择方案是最接近理想解且最远离负理想解的方案。

模型原理

  • TOPSIS法是一种理想目标相似性的顺序选优技术,在多目标决策分析中是一种非常有效的方法。
  • 它通过归一化后(去量纲化)的数据规范化矩阵，找出多个目标中最优目标和最劣目标(分别用理归想一解化和反理想解表示),分别计算各评价目标与理想解和反理想解的距离,获得各目标与理想解的贴近度,按理想解贴近度的大小排序,以此作为评价目标优劣的依据。
  • 贴近度取值在0~1之间,该值愈接近1,表示相应的评价目标越接近最优水平:反之,该值愈接近0,表示评价目标越接近最劣水平。

基本步骤

  • 将原始矩阵正向化（使指标均为越大越好的指标）
    • 将原始矩阵正向化，就是要将所有的指标类型统一转化为极大型指标
  • 正向矩阵标准化
    • 标准化的方法有很多种，其主要目的就是去除量纲的影响,保证不同评价指标在同一数量级，且数据大小排序不变。
  • 计算得分并归一化

指标正向化

  • 指标类型
指标名称 指标特点 例子
极大型（效益型）指标 越大越好 成绩
极小型（成本型）指标 越小越好 费用
中间型指标 越接近某个值越好 身高
区间型指标 落在某个区间越好 体温
  • 转换公式
    • 极大型：
      • 不需要转化
    • 极小型：
      • x^=max−x\hat{x} = max - x (x^\hat{x}为转换后指标，max为指标最大值)
    • 中间型：
      • {xi}\{x_i\} 为一组中间型序列，最优值为xbestx_{best}
      • M=max{∣xi−xbest∣}M=max\{ \left| x_i-x_{best} \right| \}
      • x^=1−∣xi−xbest∣M\hat{x} =1-\frac{\left|x_i-x_{best}\right|}{M}
    • 区间型：
      • M=max{a−min{xi},max{xi}−b}M = max\{a-min\{x_i\},max\{x_i\}-b\}
      • x~={1−a−xiM, xi<a1, a≤xi≤b1−xi−bM, xi>b\widetilde{x}= \begin{cases}1-\frac{a-x_i}{M},\space x_i<a\\1,\space a \le x_i \le b\\1-\frac{x_i-b}{M},\space x_i>b \end{cases}

正向化矩阵标准化

  • 目的是消除不同量纲的影响
  • xijx_{ij} 表示原矩阵的元素，zijz_{ij} 表示标准化后矩阵的元素
  • zij=xij∑i=1nxij2z_{ij} = \frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{x_{ij}^{2}}}}

指标加权

  • 层次分析法，熵权法，Delphi法，对数最小二乘法等

计算得分并归一化

  • 最大值Z+=(Z1+,Z2+,…,Zm+)Z^{+}=(Z_{1}^{+},Z_{2}^{+},\dots,Z_{m}^{+})
    • 其中Zi+Z_i^{+} 为标准化矩阵第ii 列的最大值
  • 最小值Z−=(Z1−,Z2−,…,Zm−)Z^{-}=(Z_{1}^{-},Z_{2}^{-},\dots,Z_{m}^{-})
    • 其中Zi−Z_i^{-} 为标准化矩阵第ii 列的最小值
  • 计算第ii个对象与最大值的距离
    • Di+=∑j=1m(Zj+−zij)2D_i^+ = \sqrt{\sum_{j=1}^{m}{(Z_j^+ - z_{ij})^2}}
  • 计算与最小值的距离
    • Di−=∑j=1m(Zj−−zij)2D_i^- = \sqrt{\sum_{j=1}^{m}{(Z_j^- - z_{ij})^2}}
  • 计算得分并归一化
    • Si=Di−Di++Di−S_i = \frac{D_i^-}{D_i^+ + D_i^-}
    • Si~=Si∑i=1nSi×100%\widetilde{S_i}=\frac{S_i}{\sum_{i=1}^{n}{S_i}}\times 100\%

示例代码

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#Topsis算法的示例代码

import numpy as np

# 参评对象数目
# n = int(input("请输入参评对象数目："))
n = 3
# 评价指标数目
# m = int(input("请输入指标数目："))
m = 4

# 接收类型矩阵（表示每一个指标的指标类型）
# kind = input("输入类型矩阵(以空格分开)：1.极大型 2.极小型 3.中间型 4.区间型").split(" ")
kind = [1,2,3,4]
# 接受输入的判断矩阵并转化为np数组
# print("请输入矩阵：")
# A = np.zeros(shape=(n,m))

# for i in range(n):
#     A[i] = input().split(" ")
#     # 将各行元素转化成浮点数
#     A[i] = list(map(float,A[i]))

# print("输入矩阵为：\n{}".format(A))

# 示例矩阵[[9,10,175,120],[8,7,164,80],[6,3,157,90]]
A = np.array([[9,10,175,120],[8,7,164,80],[6,3,157,90]])

# 正向化矩阵
# 正向化指标
# 极小型向极大型转化转化
def mintomax(maxx,x):
    # 先将np数组转化成列表
    x = list(x)
    # x 实际上是列向量
    res = [[(maxx - i)] for i in x]
    return np.array(res)  # 转化为np多维数组

# 中间型转化
def midtomax(bestx,x):
    # 转化为列表
    x = list(x)
    # 找到距离最优点的距离的最大值
    h = [abs(i - bestx) for i in x]
    m = max(h)
    # 防止最大距离值为0的情况
    if m == 0: m = 1
    # 计算正向化的指标 ，将每个距离比去最大距离的比值用1减去
    res = [[(1-i/m)] for i in h]
    # 返回np数组
    return np.array(res)

# 区间型转化
def regtomax(minx,maxx,x):
    # 转化为列表
    x = list(x)
    # 计算超出区间的最大距离
    m = max(minx-min(x),max(x)-maxx)
    res = []
    # 防止最大距离为0
    if m == 0: m = 1 
    # 正向化指标
    for i in x:
        if(i < minx):
            res.append([1-(minx-i)/m])
        elif(i > maxx):
            res.append([1-(i-maxx)/m])
        else:
            res.append([1])
    return np.array(res)

# 正向化矩阵
X = np.zeros((n,m))
for i in range(m):
    if kind[i] == 1:
        v = np.array(A[:,i])
    elif kind[i] == 2:
        v = mintomax(max(A[:,i]),A[:,i])
    elif kind[i] == 3:
        bestA = 165
        v = midtomax(bestA,A[:,i])
    elif kind[i] == 4:
        minx = 90
        maxx = 100
        v = regtomax(minx,maxx,A[:,i])
    if i == 0 :
        # 第一次循环时将得到的正向指标向量转化成列向量
        X = v.reshape(-1,1)
    else:
        # 将剩余的指标列向量垂直合并到一起
        X = np.hstack((X,v.reshape(-1,1)))
print("正向化矩阵为：\n",X)

# 标准化矩阵
for j in range(m):
    X[:,j] = X[:,j]/np.sqrt(sum(X[:,j]**2))

print("标准化矩阵为：\n",X)

# 计算每列(各个指标)的最大值最小值
xmax = np.max(X,axis=0)
xmin = np.min(X,axis=0)
# 求得对象与最优解的距离d+
d_z = np.sqrt(np.sum(np.square((X-np.tile(xmax,(n,1)))),axis=1))
# 与最劣解的距离d-
d_f = np.sqrt(np.sum(np.square((X-np.tile(xmin,(n,1)))),axis=1))

print("每个指标的最大值：",xmax)
print("每个指标的最小值：",xmin)
print("d+向量:",d_z)
print("d-向量:",d_f)

# 计算各指标得分
s = d_f/(d_z+d_f) # s接近于1则较优(随d_z的减小而增大)
s = s/sum(s)      # 归一化处理
s *= 100 # 化为百分制
for i in range(len(s)):
    print(f"第{i+1}个对象的评分为{s[i]}") # 打印评分